응용수학 15, 우주의 현재 상태를 과거의 영향과 미래의 원인

뉴턴은 완전히 새로운 연구 방향을 열었다. 그의 초기 아이디어에 기초하여, 사과가 태양 주위를 도는 나무나 행성에서 떨어질 뿐만 아니라 힘에 영향을 받는 작거나 큰 물체에 대해서도 운동의 방정식을 만들 수 있었습니다. 빛을 제외하고 우주는 물질로 이루어져 있기 때문에 기본적으로 우리 주변의 모든 것에 적용됩니다. 이 프로그램은 19세기에 유체, 고체, 기체, 입자의 움직임을 묘사하는 이론적인 틀인 고전적인 기계 장치로 절정에 달했다. 19세기 중반 무렵, Josephf‐LouisLagrange, Pier‐SimonLaplace, andPier‐SimonLaplace 같은 위대한 수학자들의 작업을 통해 이것은 Laplace의 확률에 대한 철학적 에세이에서 인용한 것으로 잘 요약되어 있다. 우리는 우주의 현..

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• · 2023. 8. 2.
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응용수학 14, 우리가 풀 수 없는 방정식, 미분 방정식 해결

우리가 시작한 방정식 x+3=7은 선형 방정식의 예입니다. 알 수 없는 'x'가 함수 또는 힘(예:1x2x또는 2x)이 아니라 저절로 나타나기 때문에 선형이라고 부릅니다. 이러한 방정식의 일반적인 형태는 도끼+b=0이며 여기서 a와 b는 실수(및 a=/0)입니다. 이 형식의 모든 방정식은 x=-b/a공식을 사용하여 해결할 수 있습니다. 우리는 이제 더 많은 방정식을 풀 준비가 되었다. 다음 것들은, 복잡성의 순서로, 형태의 2차 방정식이다. 잘 알려 진 공식으로 해결할 수 있는 a, b, c의 값과 계산기를 감안하면 x를 얻을 수 있다. 체적 방정식과 4분의 1방정식의 유사한 문제는 또한 다소 길지만 완전히 분명한 표현에 의해 해결될 수 있다. 이러한 공식은 더 많은 항을 포함하지만 x의 모든 해결책을 ..

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• · 2023. 8. 2.
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응용수학 13, 응용 수학에서는 방정식을 푸는 것

모델링이 실제로 어떻게 이루어지는지, 새로운 수학적 모델의 개발은 지속적으로 정제되고 내부의 일관성과 데이터에 대해 검사되는 길고 복잡한 과정이다. 우리는 학교에서 수학이 방정식을 푸는데 사용될 수 있다는 것을 배운다. 우리는 일반적으로 숫자와 변수와의 관계를 제시 받으며, 신화 속의 'x'변수 중 하나를 분리해 달라는 요청을 받는다. 예를 들어, x+3=7방정식을 해결하는 x의 값을 물어볼 수 있습니다. 양측에서 3을 빼면 x=4가 되고, 우리는 a와 b가 실제 숫자인 방정식 x+a=b를 고려하여 이 문제를 일반화할 수 있다. 그 다음, 용액은 x=(b-a)이다. 우리는 x+a=b유형의 모든 방정식에 대한 해결책을 제공하는 공식을 얻었다. 방정식이 복잡해짐에 따라 알 수 없는 변수의 공식을 구하는 것이..

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• · 2023. 8. 2.
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응용수학 12, 수학 모델링의 현대적 관점

케플러의 법칙은 행성의 움직임에 대한 현상학적 법칙의 한 예이다. 현상학에 의하면, 우리는 경험적 모델 또는 기본적인 원리에 기초하지 않지만 특정 시스템의 행동을 설명하고 실험 데이터나 관찰에 의해 입증되는 법을 의미한다. 천체 물리학에 대한 이해에 있어서 주요한 혁명은 아이작 뉴턴의 Philosophie Naturalis Principia Mathematica의 출판과 함께 일어났다. 1687년에 출판된 이 작품은 인류 역사상 가장 중요한 작품 중 하나이다. 프린키피아에서 뉴턴은 힘의 작용에 따라 점의 운동에 대한 기본 법칙을 가정했고, 중력에 대한 보편적 법칙을 제안했다. 이 두 이론을 결합하여, 뉴턴은 케플러의 법칙을 설명할 수 있는 간단한 모델을 제안했다. 그의 주된 가정은 행성의 움직임은 오직 ..

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• · 2023. 8. 2.
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응용수학 11, 모델 복잡성과 물리학 패러다임

현미경의 서로 다른 렌즈처럼, 공의 움직임에 대한 각각의 모델은 같은 문제를 연구하지만 다른 질문에 대답하기 위해 다른 수준의 해상도나 복잡성을 연구한다. 모형의 복잡성이 증가함에 따라 수학 공식을 입력하는 방정식, 변수 및 모수의 수도 증가합니다. 그러한 과정에 의해 생성된 방정식은 복잡성이 증가하고 곧 철저한 수치적 접근이 필요하다. 그림 7에서 스케치한 대로, 모델은 질문에 따라 다양한 크기를 가질 수 있으며, 그 공식에 나타나는 변수와 방정식으로 대략적으로 측정될 수 있지만 대부분의 연구자는 다른 모델보다 복잡성에 대해 말한다. 모델 크기, 통찰력 및 예측 능력 간의 균형을 보여 주는 모델 복잡성은 물론, 몇몇 문제에 대해서는 Goldilocks지역이 더 왼쪽이나 더 오른쪽에 있을 것입니다. 어느..

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• · 2023. 8. 2.
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