케플러의 법칙은 행성의 움직임에 대한 현상학적 법칙의 한 예이다.
현상학에 의하면, 우리는 경험적 모델 또는 기본적인 원리에 기초하지 않지만 특정 시스템의 행동을 설명하고 실험 데이터나 관찰에 의해 입증되는 법을 의미한다.
천체 물리학에 대한 이해에 있어서 주요한 혁명은 아이작 뉴턴의 Philosophie Naturalis Principia Mathematica의 출판과 함께 일어났다. 1687년에 출판된 이 작품은 인류 역사상 가장 중요한 작품 중 하나이다. 프린키피아에서 뉴턴은 힘의 작용에 따라 점의 운동에 대한 기본 법칙을 가정했고, 중력에 대한 보편적 법칙을 제안했다. 이 두 이론을 결합하여, 뉴턴은 케플러의 법칙을 설명할 수 있는 간단한 모델을 제안했다. 그의 주된 가정은 행성의 움직임은 오직 태양과 행성 사이의 상호 중력에 의해서만 결정된다는 것이었다. 다른 천체들로부터 오는 모든 다른 중력들은 무시된다. 그 후 뉴턴은 타원이 중력을 받고 있는 두 천체의 움직임에 대한 가능한 해결책이며 케플러의 법칙은 그의 일반적인 이론의 단순하고 직접적인 결과라고 말했다.
행성 궤도의 모델은 뉴턴의 이론의 많은 적용 중 하나일 뿐이고 그 중요성은 과장하기 어렵다. 아주 작은(분자보다 작은)과 아주 큰(태양계보다 큰)을 제외하고, 뉴턴의 움직임의 법칙은 모든 물리적 물체와 방정식을 전 세계에서 매 시간마다 반복적으로 사용한다.
이 예에서 설명한 것처럼 물리적 패러다임은 세 단계로 진행됩니다. 데이터를 생성하는 관측치 또는 실험, 현상학적 법칙을 제공하는 패턴 식별, 관찰된 몇가지 주요 가정 법에서 설명합니다.
모델을 구축하는 가능한 방법은 현상학 법칙으로 요약되는 데이터와 관찰에서 시작됩니다. 결국, 법률과 자료는 일반 이론과 다른 분야에 적용 가능한 더 구체적인 모델을 위한 기초를 제공한다. 그러한 과정의 전형은 뉴턴의 고전 역학 이론의 공식이다.
역사를 통한 물리적 패러다임의 타당성은 논쟁의 여지가 있다. 그러나 실천가들에게 현대 수학 모델링은 물리학의 고전적인 관점과는 상당히 다르며, 응용 수학자들이 신의 영감을 기다리며 사과 나무 아래에서 그들의 삶을 보내지 않는다는 것은 놀라운 일이다. 오늘날 문제를 해결하는 데 사용될 수 있는 이론과 방법이 많이 있다. 대부분의 과학 실험은 이론을 모르는 상태에서 이루어지는 것이 아니다. 정확하게 정의된 수량을 측정하고 이론적 개념과 관련된 질문에 답하기 위해 이론과 손으로 설계되었습니다. 그러나 모든 과학적 질문들이 수학적 모델링에 적합하다고 가정하는 것은 잘못된 것이다. 특히, 생물학, 의학, 화학에서의 연구는 일반적으로 작용 가설을 검증하기 위한 체계적인 실험과 통계적 분석에 의존한다. 그러한 연구에서, 시스템이 너무 복잡하거나 아직 충분히 이해되지 않아 적절한 수학 공식을 보장할 수 없기 때문에 수학 모델링은 문제에 접근하기 위한 최선의 도구가 아닐 수 있습니다. 예를 들어, 어떤 수학적 모델링도 암에 대한 약물 실험을 대체할 수 없고, 어떤 모델도 유기체의 발달에 대한 특정 유전자 조합의 역할을 결정적으로 결정하지 않습니다. 그러나 이러한 경우에도 수학적 모델링은 통찰력, 지침 및 영감을 제공할 수 있습니다.
수학적 모델링이 직접적으로 관련이 있는 영역에서는 예측 가능하든 아니든 모델로 이어지는 프로세스가 훨씬 더 복잡합니다. 그러한 분야 중 하나는 과학자들이나 산업 종사자들이 과학적 질문에 대처하기 위해 응용 수학자들과 함께 모이는 협력적인 모형 제작이다. 과학자는 그 분야에 대한 깊은 지식을 가지고 있고 그들이 모델링이 어느 정도 가치가 있다고 느끼는 문제에 직면할 수도 있다. 수학자에게 과학자는 '당신이 나를 도울 수 있을지 모르겠지만, 나는 수학이 나의 문제에 도움이 될 수 있다고 믿는다.'라고 말한다. 수학자는 문제에 대한 지식이 부족하지만, 그들에게 현실 세계를 보여 주는 멋진 컬러 사진들에 쉽게 감명 받습니다. 더 말해 주세요.' 이런 상호 존중과 무지의 상태에서, 간단한 모델이나 실험을 통해 시도해 볼 가치가 있는 문제, 질문, 아이디어의 파편이 서서히 나타납니다. 전형적으로, 이러한 첫번째 시도는 단순하지만 잘못된 모델과 분야 간의 격차를 더 강화하는 부적절한 실험으로 이어진다. 놀랍게도, 많은 수학자들은 이 문제의 기초가 되는 기본적인 개념들을 양 당사자들이 직면하고 이해하도록 강요하기 때문에 이러한 초기 실패가 가장 통찰력 있는 것이라고 자유롭다. 만일 그들이 이러한 최대 무지의 상태를 극복할 수 있다면, 이러한 상호 작용의 더 많은 반복은 결국 타당하고 문제에 대한 새로운 관점을 제공하는 모델로 이어질 것이다. 씨앗은 발아하고 있고 마침내 추수 계획을 세울 수 있다. 수학자들은 많은 방정식으로 큰 모형을 쓸 수 있지만, 과학자들은 모형을 검증하고 유용한 매개 변수를 추출하기 위해 빅 데이터와 새로운 실험을 만듭니다. 협력적인 수학 모델링이 최선이고 적절하게 정량화된 새로운 과학 분야가 출현하는 것은 상호 협력의 상태이다.