우리가 시작한 방정식 x+3=7은 선형 방정식의 예입니다.
알 수 없는 'x'가 함수 또는 힘(예:1x2x또는 2x)이 아니라 저절로 나타나기 때문에 선형이라고 부릅니다.
이러한 방정식의 일반적인 형태는 도끼+b=0이며 여기서 a와 b는 실수(및 a=/0)입니다. 이 형식의 모든 방정식은 x=-b/a공식을 사용하여 해결할 수 있습니다. 우리는 이제 더 많은 방정식을 풀 준비가 되었다. 다음 것들은, 복잡성의 순서로, 형태의 2차 방정식이다.
잘 알려 진 공식으로 해결할 수 있는 a, b, c의 값과 계산기를 감안하면 x를 얻을 수 있다. 체적 방정식과 4분의 1방정식의 유사한 문제는 또한 다소 길지만 완전히 분명한 표현에 의해 해결될 수 있다. 이러한 공식은 더 많은 항을 포함하지만 x의 모든 해결책을 계수의 명시적 함수로 표현한다.
2차 방정식이나 6차 방정식은요? 1820년대 수학자 니엘스 헨릭 아벨과 에바리스트 갈로이스의 획기적인 업적에 따르면, 준 방정식으로 시작하는 상위 방정식은 없다.
공식을 찾을 만큼 똑똑한 경우는 아니다. 그들은 일반적으로 계수의 관점에서 이 방정식의 해법을 제시하는 공식(4.1)이 없다는 것을 엄격하게 증명했다.
수학 방정식의 동물원에서는 준 방정식이 오히려 간단하다. 그것들은 오직 하나의 변수만을 포함하며, 미분 수량, 적분 또는 다른 함수와 같은 다른 합병증은 포함하지 않는다. 하지만, 우리는 이미 간단한 진실에 직면해 있다. 일반적으로, 그러한 방정식의 정확한 해결책을 위한 공식을 쓰는 것은 불가능하다.
방정식의 공식을 찾는 문제는 미분 방정식의 이론에 오랜 역사를 가지고 있다. 이것들은 미지의 x뿐만 아니라 그것의 파생물을 포함하는 방정식이다. 답이 숫자일 경우 위의 다항식 방정식과 달리 미분 방정식의 솔루션은 함수입니다. 예를 들어, 알 수 없는 x=x(t)에 대한 단순 미분 방정식을 고려합니다.
여기서 dx dt트는 t에 대한 x(t)의 변화율이며 x(t)의 파생어로 불린다. 다항식과 달리 이 미분 방정식의 솔루션은 숫자가 아니라 함수입니다.
여기서 C는 임의 상수이고 exp(t)=등은 지수 함수이다. 주어진 함수가 미분 방정식의 솔루션이라는 증거는 다시 미분 방정식으로 대체하여 수행됩니다. 우리의 경우, 기타의 파생 모델이 단순하기 때문에 방정식의 왼쪽은 Cet이고 오른쪽도 Cet입니다.
이 미분 방정식은 갈릴레오에 의해 16세기에 균일한 움직임의 모델로 처음 제안되었다. 그 모델은 틀린 것으로 판명되었다. 그럼에도 불구하고, JohnNapier는 이 방정식의 수학적 특성과 그 반대에 관심을 갖게 되었다. 20년간의 고된 연구 끝에, 그의 연구는 결국 그를 기하 급수적이고 로그적인 기능의 개념으로 이끌었다. 이 책은 로그의 첫번째 표로서 과학과 공학의 초기 발전에 중요한 역할을 했다.
이전의 섹션에서, 우리는 다양한 장소에서 다른 미분 방정식이 나타나는 것을 보았습니다. 응용 수학에서는, 이러한 방정식들이 어디에서나 발견된다. 앞, 가운데, 그리고 가운데, 그것들을 포함하지 않는 모델을 찾는 것은 어렵다. 그것들은 왜 그렇게 흔한가요? 미분 방정식의 무엇이 그렇게 특별한가?
아이작 뉴턴은 그들의 중요성을 가장 먼저 인식했다. 힘을 가하는 물체의 운동에 대한 뉴턴의 유명한 방정식은 가속에 대한 힘을 가한다는 것을 기억하라. 그러나 가속도 또한 시간에 대한 속도 변화율이다. 그것은 시간에 관한 속도의 파생물이다. 속도 자체는 시간에 대한 위치의 변화율이며, 시간에 대한 위치의 두번째 파생 상품을 가속화한다. 위치 x(t)에 위치한 m(m=/0)질량에 적용되는 힘 f(x, t)를 알고 있다면, 여기서 t는 시간이다.
이 마지막 방정식은 x의 2차 미분 방정식이다. 그것은 물체의 속도 변화가 그 간격 동안 가해진 힘 때문이라는 매우 간단한 생각을 표현한다.
예를 들어 다음과 같은 시나리오를 고려해 보십시오. 제 차에 기름이 다 떨어져서 도로를 따라 밀기로 결정했다면 제가 가하는 힘은 시간과 위치에 따라 달라질 것입니다. 만약 제가 이 힘과 제 차에 가해진 마찰력을 안다면, 시간의 함수로써 f(x(t), t)를 알 수 있습니다. 만약 제가 몇시간 동안 성과 없이 차를 움직일 수 있는 정도를 예측하고 싶다면, 힘이 계속해서 가해질 때 어떤 일이 일어나는지 알아보기 위해 이 미분 방정식을 풀어야 할 것입니다. 뉴튼의 방정식을 푸는 것은 우리의 지식을 작은 시간 간격에서 긴 시간의 행동까지 연결시켜 준다.